A mi si, obviamente, si no no estaría escribiendo este post ;) Mi móvil es Android y parecía que estaba todo bien configurado.
Investigué por internet (como no) y el problema es que Twitter tiene un límite máximo de aplicaciones a las que puedes dar permiso de acceso, así que si lo sobrepasas (que no avisa) habrá algunas que dejarán de funcionar. Y eso es lo que me ha pasado.
¿Cómo solucionarlo? Facil... Revocar el acceso a aplicaciones que ya ni sabías que habías habilitado permisos. Para hacerlo hay que entrar en https://twitter.com/ y acceder a la "Configuración" de nuestro Perfil.
El siguiente paso es configurar correctamente el móvil. Acedemos a la aplicación y entramos en la Configuración de nuestra cuenta. Pulsamos en "Notificaciones en el movil" y las activamos. ¡Listo! Ya tendremos notificaciones